Ramsey理论与图的强度

图 $G$ 的一个编号 $f$ 是一种为 $G$ 的每个顶点分配 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 中互不相同的整数的标记，其中每个 $uv\in E\left( G\right)$ 都被标记为 $f\left( u\right) +f\left( v\right)$。图 $G$ 的强度 $\mathrm{str}\left( G\right)$ 定义为 $\mathrm{str}\left( G\right) =\min \left\{ \mathrm{str}_{f}\left( G\right) \left\vert f\text{ 是 }G\text{ 的一个编号}\right.\right\}$，其中 \mathrm{str}_{f}\left( G\right) =\max \left\{ f\left( u\right) +f\left( v\right) \left\vert uv\in E\left( G\right) \right\}。设 $f\left( n\right)$ 表示在阶为 $n$ 的非空图 $G$ 和 $\overline{G}$（$\overline{G}$ 表示 $G$ 的补图）上的 $\mathrm{str}\left( G\right) +\mathrm{str}\left( \overline{G}\right)$ 的最大值。在本文中，我们建立了与图强度概念相关的Ramsey数的下界，证明了 $f\left( n\right)$ 的尖锐下界。除了这些结果外，我们提供另一个下界并给出 $f\left( n\right)$ 的一些精确值。此外，我们扩展了现有的涉及图强度的必要且充分条件。最后，我们研究了当 $G$ 和 $\overline{G}$ 是阶为 $n$ 的非空图时，$\mathrm{str}\left( G\right) +\mathrm{str}\left( \overline{G}\right)$ 的下界。本文中我们提出了一些源于我们研究的开放问题。