图的反-$k$-标号

众所周知，图的标号问题出现在许多(但不限于)网络与电信情境中。本文引入图的反-$k$-标号问题，旨在最小化相邻节点的相似性(或距离)。例如，在无线网络中每个节点被分配一个频率的基本频率分配问题中，通常希望限制或最小化相邻节点间的频率间隙以限制干扰。设 $k\geq1$ 为整数，且 $\psi$ 为图 $G$ 上从 $V(G)$ 到 $\{1,2,\cdots,k\}$ 的标号函数(反-$k$-标号)。无洞反-$k$-标号是使用 1 到 $k$ 之间所有标号的反-$k$-标号。对边 $e=uv$ 定义 $w_{\psi}(e)=|\psi(u)-\psi(v)|$，对图 $G$ 的反-$k$-标号 $\psi$ 定义 $w_{\psi}(G)=\min\{w_{\psi}(e):e\in E(G)\}$。图 $G$ 的反-$k$-标号数 $mc_k(G)$ 为 $\max\{w_{\psi}(G): \psi\}$。本文首先证明 $mc_k(G)=\lfloor \frac{k-1}{\chi-1}\rfloor$，且确定图 $mc_k(G)$ 的问题是 NP-hard 的。我们主要获得了树、网格与 $n$-立方体的无洞反-$n$-标号数的下界。