最小+1 Steiner 割与双边缘灵敏性 oracle：桥接全局割与(s,t)割之间的差距

设 $G=(V,E)$ 为无向多图，顶点数为 $n=|V|$，且 $S\subseteq V$ 为 Steiner 集合。Steiner 割是基本概念；此外，全局割（$|S|=n$）以及(s,t)割（$|S|=2$）仅是 Steiner 割的两种特殊情况。我们研究容量为最小+1的 Steiner 割，并作为重要应用，提供了针对 Steiner mincut 的双边缘灵敏性 oracle。为全局割 [STOC 1995] 和(s,t)割 [TALG 2023] 各设计了一个容量为最小+1的紧凑数据结构。此外，这两个数据结构也被用于关键地设计其相应 mincut 的双边缘灵敏性 oracle。不幸的是，除上述两种极端情形的 Steiner 割外，尚无人对这些结果的泛化。因此，为填补这一差距，我们提出以下首次针对 Steiner 割的结果：1. 数据结构：存在一个 $O(n(n-|S|+1))$ 空间的数据结构，可在 $O(1)$ 时间内确定给定顶点对是否被容量至少为最小+1的 Steiner 割所分割。若存在 Such 割，可在 $O(n)$ 时间内报告。2. 灵敏性 oracle：(a) 存在一个 $O(n(n-|S|+1))$ 空间的数据结构，在任意边对的失败/插入后，可在 $O(1)$ 时间内报告 Steiner mincut 的容量，并在 $O(n)$ 时间内报告 Steiner mincut。(b) 若仅关注报告容量，则存在更紧凑的数据结构，占用 $O((n-|S|)^2+n)$ 空间，失败/插入后可在 $O(1)$ 时间内报告容量。3. 下界：对于无向多图，对于每个 Steiner 集合 $S$，任何在任意边对的失败或插入后均能报告 Steiner mincut 容量的数据结构，必须占用 $\Omega((n-|S|)^2)$ 位的空间，无论查询时间如何。