平面有向图中的最大s,t-流预言机与负环检测

我们研究平面有向图上的最大$s,t$-流预言机问题，其目标是设计一种数据结构，用以回答任意源-目标对$(s,t)$的最大$s,t$-流值（或等价地，最小$s,t$-割值）查询。对于边容量为多项式有界整数的情形，我们描述了一种具有真次二次空间与预处理、以及次线性查询时间的精确最大$s,t$-流预言机。此外，若可接受$(1-\epsilon)$近似回答，我们得到一种静态预言机，具有近线性预处理与$\tilde{O}(n^{3/4})$查询时间，以及一种动态预言机，支持边容量更新与查询的最坏情况时间为$\tilde{O}(n^{6/7})$。据我们所知，对于平面有向图，即便在非加权情形下也从未有过（近似）最大$s,t$-流预言机的描述，且仅知涉及无预处理或预计算全部$n^2$个可能答案的平凡权衡。我们在此过程中开发的一个关键技术工具是一种用于在有向图所谓稠密距离图中寻找负环的次线性（关于边数）算法。将其嵌入先前的框架中，我们得到了平面有向图上其他基本问题的改进界。特别地，我们展示：（1）平面有向图中带整数边权至少$-C$的负权单源最短路（SSSP）的确定性$O(n\log(nC))$时间算法。这在权值为$n$的多项式这一重要情形下改进了先前已知界；（2）二部平面图中寻找完美匹配的改进$O(n\log{n})$界。