常曲率空间中近最优的动态斯坦纳稀疏子图

我们考虑欧几里得几何和非欧几何中的斯坦纳稀疏子图。在欧几里得设置下，由 Le 和 Solomon [FOCS'19] 发起并由 Chang 等人 [SoCG'24] 进一步改进的一系列近期工作得到了大小为 $O_d(\varepsilon^{(1-d)/2}\log(1/\varepsilon)n)$ 的斯坦纳 $(1+\varepsilon)$-稀疏子图，几乎匹配 Bhore 和 Tóth [SIDMA'22] 的下界。我们不仅在 $d$ 维欧几里得空间中，也在 $d$ 维球面空间和双曲空间中得到了大小为 $O_d(\varepsilon^{(1-d)/2}\log(1/\varepsilon)n)$ 的斯坦纳 $(1+\varepsilon)$-稀疏子图。对于任何固定维度 $d$，所获得的边数在这些空间的每一个中都是最优的，最多相差一个 $O(\log(1/\varepsilon))$ 因子。与早期的构造不同，我们的斯坦纳稀疏子图基于简单的四叉树，并且可以动态维护，从而为动态近似最近邻和双色最近点对提供高效的数据结构。在双曲设置下，我们还证明了双曲平面中的 $2$-稀疏子图必须具有 $\Omega(n\log n)$ 条边，并且我们在 $d$ 维双曲空间中得到了一个大小为 $O_d(n\log n)$ 的 $2$-稀疏子图，对于任何常数 $d$ 都匹配了我们的下界。最后，我们在双曲空间中给出了一个具有加性误差 $\varepsilon$ 的斯坦纳稀疏子图，其边数为 $O_d(\varepsilon^{(1-d)/2}\log(\alpha(n)/\varepsilon)n)$，其中 $\alpha(n)$ 是反阿克曼函数。我们的技术可以推广到常曲率的闭合可定向曲面以及某些商空间。