最优欧几里得 spanner：真正短、细且长

在 STOC'95 的一篇开创性论文《欧几里得 spanner：短、细且长》中，Arya 等人提出了一种欧几里得 $(1+\eps)$-spanner 的构造方法，该构造实现了常数度、直径 $O(\log n)$ 和权重 $O(\log^2 n) \cdot \omega(MST)$，运行时间为 $O(n \cdot \log n)$。此构造适用于 $n$ 点常数维欧几里得空间。此外，Arya 等人猜想，在不增加 spanner 的度和直径且保持相同运行时间的前提下，权重界可以改进一个对数因子。Arya 等人的这一猜想已成为欧几里得 spanner 领域的一个核心开放问题。本文肯定了地解决了 Arya 等人这一长期存在的猜想。具体而言，我们提出了一种 spanner 构造，其拉伸因子、度、直径和运行时间与 Arya 等人的结果相同，但具有最优权重 $O(\log n) \cdot \omega(MST)$。此外，我们的结果在三个方面更为通用。首先，我们证明了该猜想不仅在常数维欧几里得空间中成立，在加倍度量（doubling metrics）中也成立。其次，我们提供了涉及三个参数的一般权衡，且在整个范围内都是紧的。第三，我们设计了一种变换，可在一般度量中降低 spanner 的轻盈度（lightness），同时保持所有其他参数可控。我们的主要结果是该变换的一个推论。