欧几里得稀疏生成器中度数、直径与权重的平衡

本文设计了一种新颖的欧几里得稀疏生成器统一构造方法，能够在最大度数、直径和权重之间实现优雅的权衡。对于正整数 k，我们的构造提供了一个 (1+ε)-稀疏生成器，其最大度数为 O(k)，直径为 O(log_k n + α(k))，权重为 O(k · log_k n · log n) · w(MST(S))，且边数为 O(n)。值得注意的是，当 k = n^{1/α(n)} 时，可得到直径为 O(α(n))、权重为 O(n^{1/α(n)} · log n · α(n)) · w(MST(S)) 且最大度数为 O(n^{1/α(n)}) 的生成器，这改进了 Arya 等人 [ADMSS95] 的一个经典结果；在 [ADMSS95] 的相应结果中，生成器具有相同的边数和直径，但其权重和度数可能任意大。此外，当 k = O(1) 时，可得到最大度数为 O(1)、直径为 O(log n) 且权重为 O(log^2 n) · w(MST(S)) 的生成器，这重新证明了 Arya 等人 [ADMSS95] 的另一个经典结果。在最大度数为 O(k) 且边数为 O(n) 的约束下，我们关于直径为 O(log_k n + α(k)) 的界是最优的。我们关于权重的界在 log n 因子范围内是最优的。我们的构造还在参数的互补范围内提供了类似的权衡，即当权重应小于 log^2 n，但允许直径增长超过 log n 时。对于 d 维单位立方体中的随机点集，我们从权重的界中“削去”了一个 log n 因子。具体而言，在这种情况下，我们的构造实现了最大度数 O(k)、直径 O(log_k n + α(k)) 以及高概率下为 O(k · log_k n) · w(MST(S)) 的权重。最后，在得出这些结果的过程中，我们为一般树度量设计了最优的 1-稀疏生成器构造，这些构造具有独立的研究价值。