浅、低、轻树与欧几里得跨接器的紧下界

我们证明对于每个 $n$ 点度量空间 $M$，存在一个生成树 $T$，其无权直径为 $O(\log n)$，权重为 $\omega(T) = O(\log n) \cdot \omega(MST(M))$。此外，存在一个指定点 $rt$，使得对于任意点 $v$，满足 $dist_T(rt,v) \le (1+\epsilon) \cdot dist_M(rt,v)$，其中 $\epsilon > 0$ 为任意小常数。我们扩展了这一结果，提供了无权直径与权重之间的权衡，并证明该权衡在整个参数范围内是\emph{紧至常数因子}的。这些结果使我们能够解决计算几何中的一个长期悬而未决的问题。在 STOC'95 上，Arya 等人设计了一种欧几里得跨接器构造，其无权直径为 $O(\log n)$，权重为 $O(\log n) \cdot \omega(MST(M))$。十年后的 SODA'05 上，Agarwal 等人表明该结果紧至 $O(\log \log n)$ 因子。我们填补了这一差距，证明 Arya 等人的结果紧至常数因子。