用一对树覆盖欧几里得平面

度量空间 $M = (X,\delta)$ 的 {t-拉伸树覆盖}（t-stretch tree cover），对于参数 $t \ge 1$，是一组树的集合，使得任意一对点在其中某棵树上存在一条 t-拉伸路径。树覆盖提供了一种重要的概要工具，多年来已找到各种应用。Arya 等人 [STOC'95] 的著名 {哑铃定理}（Dumbbell Theorem）指出，欧几里得平面中的任意点集都可以用 $O_\epsilon(1)$ 棵树实现 $(1+\epsilon)$-拉伸树覆盖。该结果可推广至任意（常数）维度，Bartal 等人 [ICALP'19] 进一步将其推广至任意加倍度量空间。尽管哑铃定理提供的树数量为常数，但该常数并不小，即使对于显著大于 $1+\epsilon$ 的拉伸因子也是如此。在另一极端，正 $n$ 边形顶点上的任意单棵树必然产生 $\Omega(n)$ 的拉伸。利用已知的超度量嵌入结果，使用两棵树可以轻松获得 $\tilde{O}(\sqrt{n})$ 的拉伸。即使在欧几里得平面中，能否使用两棵树实现低拉伸的问题一直悬而未决。在本工作中，我们通过为欧几里得平面中的任意点集提供一对树的常数拉伸覆盖，从根本上肯定地回答了这一问题。我们的主要技术贡献是一个{出奇简单}的 Steiner 构造，我们为其提供了{紧致}的 $\sqrt{26}$ 拉伸分析。如果愿意将拉伸增加一个小的常数，Steiner 点可以很容易地被剪除。此外，我们可以将该构造的最大度数限制为常数。因此，我们的结果为关注近似距离的问题提供了一个简单而有效的归约工具——从欧几里得平面到一对树。为了展示该工具的潜在能力，我们给出了一些应用 [...]