圆柱上均匀生成树的拓扑结构

我们研究圆柱图 $G = C_n \times P_m$ 上均匀生成树（UST）。固定一条干树 $L$ 作为连接圆柱两个边界环的指定简单路径。我们证明了干树上发散分支长度的指数尾部界限：存在常数 $C>0$ 和 $\theta=\theta(n)\in(0,1)$，仅取决于 $n$，使得对所有 $m\in\mathbb{N}$ 和 $l\geq 0$，都有 \mathbb{P}\left(\text{UST 在干树 }L 上的分支长度为 }\geq l \right) \leq Cm(n-1)\theta^{l}. 本工作的动机来自圆柱上的阿贝尔沙丘模型，特别是 [Eckmann--Nagnibeda--Perriard, Abelian sandpiles on cylinders] 中观察到的阶梯型 avalanche 大小分布。通过达赫燃烧算法，循环沙丘配置对应于生成树，因此典型 UST 的几何结构应影响沙丘在圆柱上沿分支的传播方式。干树-短分支结构和slash估计被证明是解释沙丘 avalanche 中平台现象的第一步。