高维生成森林与沙堆的普适性

我们证明，连线一致生成森林在一大类图上表现出平均场行为，包括每个体积增长至少为五次的传递图以及每个有界度非顺从图。我们的若干结果即便在 $\mathbb{Z}^d$（$d\geq 5$）的情形下也是新的。特别地，我们证明森林中每棵树几乎必然具有谱维数 $4/3$ 和游走维数 $3$，并且控制森林中顶点的过去（past）的内禀直径与体积的临界指数分别为 $1$ 和 $1/2$。（一致生成森林中一个顶点的过去是指当该顶点从森林中删去时与无穷远断开的有限连通分支。）我们由此推得，控制过去的 extrinsic 直径的临界指数在任何至少五维多项式增长的传递图上为 $2$，在任何有界度非顺从图上为 $1$。我们进一步推得，描述阿贝尔沙堆模型中雪崩直径与总翻动次数的临界指数，在任何维数至少为五的多项式增长传递图上分别为 $2$ 和 $1/2$，在任何有界度非顺从图上分别为 $1$ 和 $1/2$。在 $\mathbb{Z}^d$（$d\geq 5$）的情形下，我们关于临界指数的若干结果恢复了 Bhupatiraju、Hanson 和 J\'arai（2017）的早前结果。在此情形下，我们改进了他们的结果，证明相关的尾概率由相应的幂律描述，其乘性误差为常数阶，而非该工作中存在的多对数阶乘性误差。