四维均匀生成树中标度律的对数修正

我们计算了描述四维超立方格点 $\mathbb{Z}^4$ 均匀生成树的各种量的平均场标度律的精确对数修正。我们特别关注原点过去（即被原点与无穷远分隔开的树的有限部分）的分布。我们证明：过去包含一条长度为 $n$ 的路径的概率阶为 $(\log n)^{1/3}n^{-1}$；过去包含至少 $n$ 个顶点的概率阶为 $(\log n)^{1/6} n^{-1/2}$；过去到达盒子 $[-n,n]^4$ 边界的概率阶为 $(\log n)^{2/3+o(1)}n^{-2}$。我们证明的一个关键部分是给出四维擦除环路随机游动容量的集中估计，这本身可能具有独立意义。我们的结果意味着阿贝尔沙堆模型在四维中也展现出对非平凡多对数平均场标度律的修正，尽管精确计算这些修正的阶仍属开放问题。