低维随机森林中无穷树的唯一性

树气(arboreal gas)是图的无根随机生成森林，其中每个森林以正比于 $\beta^{\# \text{edges}}$ ($\beta\geq 0$) 的概率被抽样，它作为 $p=\beta q$ 的 Fortuin-Kastelyn 随机簇模型在 $q\to 0$ 极限下出现。我们研究超立方晶格 $\mathbb{Z}^d$ 上树气的无穷体积极限，并证明当 $d\leq 4$ 时，任何平移不变无穷体积 Gibbs 测度几乎必然至多含有一棵无穷树。结合 Bauerschmidt、Crawford 与 Helmuth (2021) 的存在性定理，这确立了对于 $d=3,4$，存在一 $\beta$ 值，使得环面上 $\beta$-树气的子序列弱极限几乎必然恰有一棵无穷树。我们还证明，在任何维度下，$\mathbb{Z}^d$ 上任何平移不变 Gibbs 测度的无穷树几乎必然都是一端(end)的。证明有两个主要部分：首先，我们证明各维度下平移不变树气 Gibbs 测度的一个重采样性质，即树气限制在其无穷树并集的迹(trace)上时，分布等同于同一迹上的均匀生成森林。其次，我们证明对任意平移不变的 $\mathbb{Z}^d$ 随机连通子图，当 $d\leq 4$ 时其均匀生成森林几乎必然连通。该证明也为以下猜想提供了强启发证据：在 $d\geq 5$ 维，超临界树气含有无穷多棵无穷树。在此过程中，我们首次对包括随机簇模型与均匀生成树在内的此类模型之 Gibbs 测度给出了系统且公理化的处理。