均匀生成森林的几何:维数 4、8、12 中的相变
概率论
2009-04-28 v3 数学物理
math.MP
摘要
Z^d 中的均匀生成森林(USF)是 [-n,n]^d 中随机均匀选取的生成树的弱极限。Pemantle 证明了 USF 几乎必然(a.s.)由单棵树组成当且仅当 d <= 4。我们证明了 Z^d 中 USF 的任意两个连通分支在 5 <= d <= 8 时几乎必然相邻,但在 d >= 9 时不相邻。更一般地,令 N(x,y) 为 Z^d 中连接 x 和 y 且位于 USF 之外的边的最少数量。则几乎必然地,max{N(x,y) : x,y in Z^d} 等于 (d-1)/4 的整数部分。我们引入格中随机关系的随机维数概念,并用于证明中。
引用
@article{arxiv.math/0107140,
title = {Geometry of the Uniform Spanning Forest: Transitions in Dimensions 4, 8, 12},
author = {Itai Benjamini and Harry Kesten and Yuval Peres and Oded Schramm},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0107140},
year = {2009}
}
备注
Current version: added some comments regarding related problems and implications, and made some corrections