均匀生成森林的分量图：维度 $9,10,11,\ldots$ 处的相变

我们证明了只要 $\ell >d \geq 4$，$\mathbb{Z}^d$ 和 $\mathbb{Z}^{\ell}$ 上的均匀生成森林具有定性不同的连通性性质。具体而言，我们考虑将均匀生成森林的每棵树收缩为单个顶点所形成的图，称之为分量图。我们引入了普遍子图（ubiquitous subgraphs）的概念，并证明了当维度变化且高于 $8$ 时，分量图的普遍子图集合也会随之改变。为了区分维度 $5,6,7$ 和 $8$，我们证明了关于分量超图中普遍子超图（ubiquitous subhypergraphs）的类似结果。我们的结果 sharpen 了 Benjamini、Kesten、Peres 和 Schramm 的一个定理，他们证明了分量图的直径每增加四个维度就增加一。