倍增度量中稀疏图与树覆盖的最优界

已知任意 $n$ 点集在 $d$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 中（其中 $d = O(1)$），存在：1）一个最大度为 $\tilde{O}(\epsilon^{-d+1})$、轻度为 $\tilde{O}(\epsilon^{-d})$ 的 $(1+\epsilon)$-稀疏图；2）一个包含 $\tilde{O}(n \cdot \epsilon^{-d+1})$ 棵树且每棵树最大度为 $O(1)$ 的 $(1+\epsilon)$-树覆盖。此外，这些构造中的所有参数都是最优的：存在 $\mathbb{R}^d$ 中的 $n$ 点集，使得任意 $(1+\epsilon)$-稀疏图具有 $\tilde{\Omega}(n \cdot \epsilon^{-d+1})$ 条边且轻度为 $\tilde{\Omega}(\epsilon^{-d})$。欧几里得稀疏图的上界严重依赖于 $\mathbb{R}^d$ 中锥划分的空间性质，而该性质似乎无法推广到更广泛的倍增度量族，即具有常数倍增维度的度量空间。在倍增度量中，二十年前的一个简单稀疏图构造——网树稀疏图——具有 $\tilde{O}(n \cdot \epsilon^{-d})$ 条边，通过剪除冗余边可转化为最大度为 $\tilde{O}(\epsilon^{-d})$、轻度为 $\tilde{O}(n \cdot \epsilon^{-(d+1)})$ 的稀疏图。此外，对网树稀疏图的仔细改进可得到包含 $\tilde{O}(\epsilon^{-d})$ 棵树的 $(1+\epsilon)$-树覆盖。尽管已有大量工作，但在更广泛的倍增度量族中获得稀疏图和树覆盖的紧确界的问题仍然悬而未决。我们通过以下成果解决了这一问题：1）一个出奇简单且紧确的下界，表明网树稀疏图及其剪枝版本在所有相关参数上都是最优的；2）一种新的 $(1+\epsilon)$-树覆盖构造，包含 $\tilde{O}(n \cdot \epsilon^{-d})$ 棵树，每棵树最大度为 $O(1)$。该构造在树的数量和最大度方面是最优的。