倍增度量的容错生成器：更优且更简

Arya 等人 (1995) 在 STOC'95 上猜想，对于任何常数维的 $n$ 点欧几里得空间，都可以在 $O(n \log n)$ 时间内构建一个具有常数度、跳数直径 $O(\log n)$ 且权重为 $O(\log n) \cdot \omega(MST)$ 的 $(1+\eps)$-生成器。最近，Elkin 和 Solomon (技术报告，2012 年 4 月) 证实了 Arya 等人的这一猜想。事实上，Elkin 和 Solomon 的证明在两个方面更为通用：首先，它适用于任意倍增度量；其次，它在整个范围内提供了这三个涉及参数之间紧密（直至常数因子）的完整权衡。随后，Chan 等人 (技术报告，2012 年 7 月) 提供了 Arya 等人猜想的另一个证明，该证明比 Elkin 和 Solomon 的证明更简单。此外，Chan 等人 (2012) 还表明可以构建具有类似性质的容错 (FT) 生成器。具体而言，他们证明了存在一个度为 $O(k^2)$、跳数直径为 $O(\log n)$ 且权重为 $O(k^3 \cdot \log n) \cdot \omega(MST)$ 的 $k$-FT $(1+\eps)$-生成器。Chan 等人构造的运行时间未进行分析。在本工作中，我们使用更简单的证明改进了 Chan 等人的结果。具体而言，我们提出了一个简单的证明，表明可以在 $O(n \cdot (\log n + k^2))$ 时间内构建一个度为 $O(k^2)$、跳数直径为 $O(\log n)$ 且权重为 $O(k^2 \cdot \log n) \cdot \omega(MST)$ 的 $k$-FT $(1+\eps)$-生成器。与 Elkin 和 Solomon 以及 Chan 等人的构造类似，我们的构造也适用于任意倍增度量。然而，与 Elkin 和 Solomon 的构造不同，我们的构造未能提供这三个涉及参数之间完整（且紧密）的权衡。Chan 等人的构造也存在这一缺点。对于 $\mathbb R^d$ 中的随机点集，我们从权重界中“削减”了一个 $\log n$ 因子。