具有极小直径的欧几里得稀疏扳手的最优时间构造

在 STOC'95 \cite{ADMSS95} 中，Arya 等人证明，对于 $\mathbb R^d$ 中的任意 $n$ 个点集，可以在 $O(n \log n)$ 时间内构造一个直径至多为 2（或 3）且边数为 $O(n \log n)$（或 $O(n \log \log n)$）的 $(1+\epsilon)$-扳手。此外，\cite{ADMSS95,NS07} 表明，对于任意 $k \ge 4$，可以在 $O(n (\log n) 2^k \alpha_k(n))$ 时间内构造一个直径至多为 $2k$ 且边数为 $O(n 2^k \alpha_k(n))$ 的 $(1+\epsilon)$-扳手。函数 $\alpha_k$ 是原始递归层次中第 $\lfloor k/2 \rfloor$ 层某个函数的逆函数，其中 $\alpha_0(n) = \lceil n/2 \rceil$, $\alpha_1(n) = \left\lceil \sqrt{n} \right\rceil$, $\alpha_2(n) = \lceil \log{n} \rceil$, $\alpha_3(n) = \lceil \log\log{n} \rceil$, $\alpha_4(n) = \log^* n$, 等等。已知 \cite{NS07}，如果允许二次时间，则可以改进这些界。具体地，对于任意 $k \ge 4$，可以在 $O(n^2)$ 时间内构造一个直径至多为 $k$ 且边数为 $O(n k \alpha_k(n))$ 的 $(1+\epsilon)$-扳手 \cite{NS07}。该领域的一个主要开放问题是，是否可以在 $O(n \log n + n k \alpha_k(n))$ 时间内构造一个直径至多为 $k$ 且边数为 $O(n k \alpha_k(n))$ 的 $(1+\epsilon)$-扳手。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。而且，实际上我们提供了一个更强的结果。具体地，我们证明对于任意 $k \ge 4$，可以在最优时间 $O(n \log n)$ 内构造一个直径至多为 $k$ 且边数为 $O(n \alpha_k(n))$ 的 $(1+\epsilon)$-扳手。我们的扳手在直径和边数之间的权衡在整个参数范围内是紧的（达到常数因子）。