一般图的近最优稀疏器在（近）线性时间内的构造

设 $G = (V,E,w)$ 为具有 $|V| = n$ 个顶点和 $|E| = m$ 条边的带权无向图，令 $k \ge 1$ 为任意整数，$\epsilon < 1$ 为任意参数。我们给出了关于具有近最优稀疏度和轻量度的稀疏器快速构造的如下结果，这些结果总结了该领域一条长期的研究脉络。（近最优是指在 Erd\H{o}s 围长猜想下最优且忽略 $\epsilon$ 依赖。）——存在（确定性）算法为 $G$ 构造稀疏度近最优为 $O(n^{1/k} \log(1/\epsilon)/\epsilon))$ 的 $(2k-1)(1+\epsilon)$-稀疏器。第一种算法可在指针机模型下于时间 $O(m\alpha(m,n) \log(1/\epsilon)/\epsilon) + SORT(m))$ 内实现，其中 $\alpha( , )$ 为双参数逆阿克曼函数，$SORT(m)$ 为对 $m$ 个整数排序所需时间。第二种算法可在 WORD RAM 模型下于时间 $O(m \log(1/\epsilon)/\epsilon))$ 内实现。——存在（确定性）算法为 $G$ 构造在稀疏度和轻量度上均达到 $O(n^{1/k}\mathrm{poly}(1/\epsilon))$ 近最优界的 $(2k-1)(1+\epsilon)$-稀疏器。该算法可在指针机模型下于时间 $O(m\alpha(m,n) \mathrm{poly}(1/\epsilon) + SORT(m))$ 内实现，在 WORD RAM 模型下于时间 $O(m \alpha(m,n) \mathrm{poly}(1/\epsilon))$ 内实现。先前具有近最优稀疏度的 $(2k-1)(1+\epsilon)$-稀疏器的最快构造即使不考虑轻量度，其运行时间也为 $O(\min\{m(n^{1+1/k}) + n\log n,k n^{2+1/k}\})$。重要的是，拉伸因子为 $2k-1$ 的贪心稀疏器稀疏度为 $O(n^{1/k})$——完全无 $\epsilon$ 依赖，但其运行时间为 $O(m(n^{1+1/k} + n\log n))$。此外，任何 $(2k-1)$-稀疏器的最先进轻量度界都很差，即使不考虑稀疏度和运行时间也是如此。