一般图的轻量级生成子的快速构造

据我们所知，针对一般图构造稀疏且轻量级生成子的已知算法仅有两种。其中一种是 Alth$\ddot{o}$fer 等人 \cite{ADDJS93} 提出的贪心算法，由 Chandra 等人在 SoCG'92 上进行了分析。对于任意 \emph{加权} 无向 $n$ 顶点 $m$ 边图 $G = (V,E)$ 及任意整数 $k \ge 1$，该贪心算法构造的 $(2k-1)$-生成子具有 $O(n^{1 + 1/k})$ 条边，且对任意 $\eps > 0$，权重为 $O(k \cdot n^{(1+\eps)/k}) \cdot \omega(MST(G))$。贪心算法的缺点在于其需要 $O(m \cdot (n^{1 + 1/k} + n \cdot \log n))$ 的时间。另一种算法由 Awerbuch 等人 \cite{ABP91} 提出。它在 $O(m \cdot k \cdot n^{1/k} \cdot \Lambda)$ 时间内构造出具有 $O(k \cdot n^{1 + 1/k} \cdot \Lambda)$ 条边、权重为 $O(k^2 \cdot n^{1/k} \cdot \Lambda) \cdot \omega(MST(G))$ 的 $O(k)$-生成子，其中 $\Lambda$ 为图纵横比的对数。这两种算法的运行时间均不令人满意。此外，通常较快的 \cite{ABP91} 算法通过显著增加生成子的拉伸、稀疏度与权重来换取速度提升。本文设计了一种用于构造稀疏且轻量级生成子的高效算法。具体而言，我们的算法构造了具有 $O(k \cdot n^{1 + 1/k})$ 条边且权重为 $O(k \cdot n^{1/k}) \cdot \omega(MST(G))$ 的 $((2k-1) \cdot (1+\eps))$-生成子，其中 $\eps > 0$ 为任意小的常数。我们算法的运行时间为 $O(k \cdot m + \min\{n \cdot \log n,m \cdot \alpha(n)\})$。此外，通过略微增加运行时间，我们可以减小其他参数。这些结果回应了 Roditty 和 Zwick \cite{RZ04} 在 ESA'04 论文中提出的一个开放问题。