轻 spanner 的统一框架 II：精细最优性

多年来关于轻 spanner 的开创性工作在各种图类中提供了具有最优轻度的 spanner，例如一般图、欧几里得 spanner 和禁用 minor 图。先前关于轻 spanner 的工作有三个缺点：（1）技术是每类图特设的，因此无法广泛应用。（2）这些构造的运行时间几乎总是次优的，且通常远非最优。（3）这些构造在标准且粗略的意义下是最优的，但在考虑了更广泛涉及参数的精细意义下并非最优。本工作旨在通过提出多种图类中轻 spanner 的统一框架来解决这些缺点。非正式地说，该框架归结为从稀疏 spanner 到轻 spanner 的变换；由于稀疏 spanner 的最先进水平比轻 spanner 的要先进得多，这样的变换是强有力的。我们的框架在两篇论文中发展。本文是第二篇——它建立在第一篇论文中奠定的统一框架基础之上，然后加强该框架以对若干图类实现更精细的最优性界。在我们框架的各种应用和含义中，我们在此强调如下：对于 $K_r$-minor-free 图，我们提供了一个轻度为 $\tilde{O}_{r,\epsilon}( \frac{r}{\epsilon} + \frac{1}{\epsilon^2})$ 的 $(1+\epsilon)$-spanner，改进了 Borradaile、Le 和 Wulff-Nilsen 的轻度界 $\tilde{O}_{r,\epsilon}( \frac{r}{\epsilon^3})$。我们用一个下界构造补充了上界，对于任何 $(1+\epsilon)$-spanner，其轻度必为 $\Omega(\frac{r}{\epsilon} + \frac{1}{\epsilon^2})$。我们注意到此处证明的关于 $1/\epsilon$ 的二次依赖是令人惊讶的，因为先前工作表明对 $\epsilon$ 的依赖应为 $1/\epsilon$。