迈向光稀疏器统一理论 I：快速（却最优）的构造

多年来关于光稀疏器（light spanners）的开创性工作在各种图类中提供了具有最优轻度的稀疏器，例如一般图、欧几里得稀疏器和免Minor图。先前关于光稀疏器的工作有三个缺陷：(1) 技术是按图类特设的，因此无法广泛适用。(2) 这些构造的运行时间几乎总是次优的，且通常远非最优。(3) 这些构造在标准和粗略意义下是最优的，但在考虑更广泛相关参数的精细意义下并非最优。本文旨在通过提出一个适用于多种图类的光稀疏器统一框架来解决这些缺陷。非正式地说，该框架归结为从稀疏稀疏器（sparse spanners）到光稀疏器的转换；由于稀疏稀疏器的最先进水平远比光稀疏器先进，这样的转换是强有力的。我们的框架分两篇论文展开。本文是这两篇中的第一篇——它奠定了统一框架的基础，随后将其应用于为若干图类设计具有最优轻度的快速构造。在我们框架的众多应用与意义中，我们在此强调以下方面：_ 在低维欧几里得空间中，我们在代数计算树（ACT）中给出构造轻度与度均被常数界住的 $(1+\epsilon)$-稀疏器，时间为 $O(n\log n)$。我们的构造解决了几何稀疏器领域一个开放了三十年的主要问题。_ 在一般图中，对任意 $k \geq 2$，我们在 $O(m \alpha(m,n))$ 时间内构造轻度为 $O(n^{1/k})$ 的 $(2k-1)(1+\epsilon)$-稀疏器。这一针对一般加权图光稀疏器的成果令人惊讶，因为它胜过了稀疏稀疏器上的类似结果。