贪心稀疏子图是存在最优的

贪心稀疏子图可以说是最简单且被研究最深入的稀疏子图构造方法。实验结果表明，在大小和权重参数方面，它至少与其他任何稀疏子图构造方法一样好。然而，这一论断的严格证明一直难以捉摸。在这项工作中，我们通过一个令人惊讶的简单观察填补了理论空白：在大小和权重方面，贪心稀疏子图对于几个重要图族是存在最优的（或存在近最优的）。粗略地说，如果贪心稀疏子图在图族$\mathcal G$中所有图上的最差表现与最优稀疏子图在$\mathcal G$中所有图上的最差表现一样好（或几乎一样好），则称贪心稀疏子图对该图族$\mathcal G$是存在最优的（或近最优的）。聚焦于权重参数，针对一般图（由Chechik和Wulff-Nilsen [SODA'16]提出）和倍增度量（由Gottlieb [FOCS'15]提出）的最先进稀疏子图构造方法都很复杂。将我们的观察应用于这些结果，我们得出结论：贪心稀疏子图对于一般图和倍增度量都实现了近最优权重保证，从而解决了该领域两个长期存在的猜想。此外，我们观察到近似贪心稀疏子图也是存在近最优的。因此，我们给出了一种$O(n \log n)$时间构造倍增度量的$(1+\epsilon)$-稀疏子图的方法，具有常数轻度和度数。我们的构造改进了Gottlieb的构造，其运行时间为$O(n \log^2 n)$且边数和度数无界，并且值得注意的是，它在所有相关参数上（取决于$\epsilon$和维度）与最先进的欧几里得结果（由Gudmundsson等人[SICOMP'02]提出）相匹配。