二次时间内的加法 spanner 和距离预言机

设 $G$ 为一个无权无向图。$G$ 的加法 $k$-spanner 是一个子图 $H$，它以 $+k$ 的加法误差近似所有节点对之间的距离，即对于所有节点 $u,v$，满足 $d_H(u,v) \le d_G(u,v)+k$，其中 $d$ 是最短路径距离。我们给出了一种确定性算法，该算法在 $O\!\left(n^2\right)$ 时间内构建一个拥有 $O\!\left(n^{4/3}\right)$ 条边的加法 $O\!\left(1\right)$-spanner。这与 Woodruff [ICALP 2010] 提出的随机 Monte Carlo 算法形成对比，后者在期望时间 $O\!\left(n^2\log^2 n\right)$ 内给出一个拥有 $O\!\left(n^{4/3}\log^3 n\right)$ 条边的加法 6-spanner。$G$ 的 $(\alpha,\beta)$-近似距离预言机是一种数据结构，支持对 $G$ 中节点对进行以下距离查询：给定两个节点 $u$，$v$，它可以在常数时间内计算出一个距离估计值 $\tilde{d}$，满足 $d \le \tilde{d} \le \alpha d + \beta$，其中 $d$ 是 $G$ 中 $u$ 和 $v$ 之间的距离。Sommer [ICALP 2016] 给出了一种随机 Monte Carlo $(2,1)$-距离预言机，其大小为 $O\!\left(n^{5/3}\text{poly} \log n\right)$，期望时间为 $O\!\left(n^2\text{poly} \log n\right)$。作为加法 $O(1)$-spanner 的一个应用，我们改进了 Sommer [ICALP 2016] 的构造，给出了一种大小为 $O\!\left(n^{5/3}\right)$、时间为 $O\!\left(n^2\right)$ 的 Las Vegas $(2,1)$-距离预言机。这也意味着存在一种算法，能在 $O\!\left(n^2\right)$ 时间内给出 $G$ 中所有节点对的近似距离，改进了 Baswana 和 Kavitha [SICOMP 2010] 的 $O\!\left(n^2 \log n\right)$ 算法。