双曲空间中具有常数加性误差的嵌入与近邻搜索

我们给出了Poincaré半空间$H^D$到基于$H^D$二元平铺的离散度量空间的嵌入，其加性失真为$O(\log D)$。它得出以下结果。我们证明$H^D$中任意$n$个点的子集$P$可以嵌入到具有$2^{O(D)}n$个顶点和边的图度量中，且加性失真为$O(\log D)$。我们还展示了如何为任意$k$构造$P$的$O(k\log D)$纯加性张成子，其具有$2^{O(D)}n$个Steiner顶点和$2^{O(D)}n \cdot \lambda_k(n)$条边，其中$\lambda_k(n)$是第$k$行反Ackermann函数。最后，我们展示了如何构造大小为$2^{O(D)}n$的$P$的近似Voronoi图。它使我们能够在$2^{O(D)}+O(\log n)$时间内回答加性误差为$O(\log D)$的近似近邻查询。这些构造可以在$2^{O(D)}n \log n$时间内完成。