有向圆盘图的松弛生成器

设 $(V,\delta)$ 为有限度量空间，其中 $V$ 是由 $n$ 个点组成的集合，$\delta$ 是为这些点定义的距离函数。假设 $(V,\delta)$ 具有常数倍维数 $d$，并假设每个点 $p\in V$ 周围都有一个半径为 $r(p)$ 的圆盘。对应于 $V$ 和 $r(\cdot)$ 的圆盘图是一个有向图 $I(V,E,r)$，其顶点为 $V$ 中的点，其边集包含一条从 $p$ 到 $q$ 的有向边当且仅当 $\delta(p,q)\leq r(p)$。在 \cite{PeRo08} 中，我们提出了一种构造大小为 $O(n/\eps^d \log M)$ 的 $(1+\eps)$-spanner 的算法，其中 $M$ 是最大半径 $r(p)$。本文给出了两个结果。第一个结果表明 \cite{PeRo08} 中的 spanner 本质上是最优的，即对于具有常数倍维数的度量，不可能保证存在大小与 $M$ 无关的 spanner。第二个结果表明，通过稍微放松要求并允许半径分配的微小扰动，可以构造出好得多的 spanner。具体而言，我们证明如果允许使用圆盘图 $I(V,E,r_{1+\eps})$ 的边，其中对于每个 $p\in V$ 都有 $r_{1+\eps}(p) = (1+\eps)\cdot r(p)$，那么就有可能为 $I(V,E,r)$ 得到大小为 $O(n/\eps^d)$ 的 $(1+\eps)$-spanner。我们的算法简单且可以高效实现。