改进的往返 spanner、仿真器与有向图围长近似

往返 spanner 是有向图中 spanner 的对应概念，其中使用往返度量作为距离概念。近期工作已给出几乎与无向情形匹配的往返 spanner 存在性结果，但构造往返 spanner 的时间复杂度仍悬而未决。本文致力于为往返 spanner 及相关问题开发快速算法。对于任意具有 $m$ 条边（非负边权）的 $n$ 顶点有向图 $G$，我们的结果如下：- 快于 APSP 的 3-往返 spanner：我们给出一种 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 时间算法，构造拉伸因子为 $3$、最优大小 $O(n^{3/2})$ 的往返 spanner。先前相同大小的往返 spanner 构造要么需要 $\Omega(nm)$ 时间 [Roditty, Thorup, Zwick SODA'02; Cen, Duan, Gu ICALP'20]，要么具有更差的拉伸因子 $4$ [Chechik and Lifshitz SODA'21]。- 稠密图中的最优往返仿真器：对于整数 $k\ge 3$，我们给出一种 $O(kn^2\log n)$ 时间算法，构造拉伸因子 $(2k-1)$、大小 $O(kn^{1+1/k})$ 的往返仿真器，在 Erd\H{o}s 围长猜想下对常数 $k$ 是最优的。[Thorup and Zwick STOC'01] 的先前工作隐含了相同大小和拉伸因子的往返仿真器，但构造时间需 $\Omega(nm)$。我们改进的运行时间在稠密图中近最优。- 稀疏图中更快的围长近似：我们给出一种 $\tilde{O}(mn^{1/3})$ 时间算法，对有向图围长做 $4$-近似。这可与 [Chechik and Lifshitz SODA'21] 的 $\tilde{O}(n^2, m\sqrt{n})$ 时间 $2$-近似算法比较。在稀疏图中，我们的算法以更大近似比为代价获得了更好的运行时间。