带缓冲划分的高阶 Cheeger 不等式

我们证明了带缓冲划分的高阶 Cheeger 不等式的一个新的推广。考虑图 $G=(V,E)$。集合 $S \subseteq V$ 关于缓冲 $B \subseteq V \setminus S$ 的缓冲扩张度（buffered expansion）是指从集合 $S$ 中移除所有连向其缓冲 $B$ 的边之后 $S$ 的边扩张度。一个 $\varepsilon$-缓冲 $k$-划分将图划分为互不相交的分量 $P_i$ 与缓冲 $B_i$，其中 $P_i$ 的缓冲 $B_i$ 的大小相对于 $P_i$ 的大小较小：$|B_i| \le \varepsilon |P_i|$。一个缓冲划分的缓冲扩张度是 $k$ 个集合 $P_i$ 连同缓冲 $B_i$ 的缓冲扩张度的最大值。令 $h^{k,\varepsilon}_G$ 为最优 $\varepsilon$-缓冲 $k$-划分的缓冲扩张度，则对任意 $\delta>0$，$$h_G^{k,\varepsilon} \le O_\delta(1) \cdot \Big( \frac{\log k}{ \varepsilon}\Big) \cdot \lambda_{\lfloor (1+\delta) k\rfloor},$$ 其中 $\lambda_{\lfloor (1+\delta)k\rfloor}$ 为 $G$ 的归一化拉普拉斯算子的第 $\lfloor (1+\delta)k\rfloor$ 小特征值。我们的不等式是构造性的，并且避免了标准 Cheeger 不等式（即便对 $k=2$）中存在的“平方根损失”。我们还给出了一个互补的下界，以及对具有任意顶点权重与边代价的情形的新的推广。此外，我们的结果蕴含并推广了标准高阶 Cheeger 不等式以及 Kwok、Lau 和 Lee（2017）近期提出的另一涉及鲁棒顶点扩张度的 Cheeger 型不等式。