关于对称群某些Cayley图的第二大特征值

设 $S_n$ 和 $A_{n}$ 分别表示集合 $\{1,.., n\}$ 上的对称群和交错群。本文关注某些连接集 $H$ 下 Cayley 图 $\Gamma=Cay(G,H)$（其中 $G=S_{n}$ 或 $A_{n}$）的第二大特征值 $\lambda_{2}(\Gamma)$。令 $1<k\leq n$，并将 $S_{n}$ 中所有 $k$-循环的集合记为 $C(n,k)$。对于 $H=C(n,n)$，我们证明 $\lambda_{2}(\Gamma)=(n-2)!$（当 $n$ 为偶数时）且 $\lambda_{2}(\Gamma)=2(n-3)!$（当 $n$ 为奇数时）。此外，对于 $H=C(n,n-1)$，我们有 $\lambda_{2}( \Gamma)=3(n-3)(n-5)!$（当 $n$ 为偶数时）且 $\lambda_{2}(\Gamma)=2(n-2)(n-5) !$（当 $n$ 为奇数时）。$H=C(n,3)$ 的情形已在 X. Huang 和 Q. Huang 的论文（The second largest eigenvalue of some Cayley graphs on alternating groups, J. Algebraic Combinatorics 50(2019), $99-111$）中考虑。令 $1\leq r<k<n$，并令 $C(n,k;r) \subseteq C(n,k)$ 为 $S_{n}$ 中移动集合 $\{1,2,..., r\}$ 中所有点的所有 $k$-循环的集合。即，$g=(i_{1},i_{2}... i_{k})(i_{k+1})\dots(i_{n})\in C(n,k;r)$ 当且仅当 $\{1,2,..., r\}\subset \{i_{1},i_{2},..., i_{k}\}$。我们的主要结果涉及 $\lambda_{2}( \Gamma)$，其中 $\Gamma=Cay(G,H)$ 且 $H=C(n,k;r)$，$1\leq r<k<n$，当 $k$ 为偶数时 $G=S_{n}$，当 $k$ 为奇数时 $G=A_{n}$。此处我们观察到 $$\lambda_{2}( \Gamma)\geq (k-2)! {n-r \choose k-r} \frac{1}{n-r} \big((k-1)(n-k) - \frac{(k-r-1)(k-r)}{n-r-1}\big).$$ 我们证明该界在特例 $k=r+1$ 中是紧的，给出 $\lambda_{2}(\Gamma)=r!(n-r-1)$。$H=C(n,3;1)$ 和 $H=C(n,3;2)$ 的情形此前在同一篇 X. Huang 和 Q. Huang 的论文中已被考虑。