关于对称群Cayley图的第二特征值

2020年，Siemons与Zalesski [On the second eigenvalue of some Cayley graphs of the symmetric group. {\it arXiv preprint arXiv:2012.12460}, 2020]确定了Cayley图$\Gamma_{n,k} = \operatorname{Cay}(\operatorname{Sym}(n), C(n,k))$在$k = 0$与$k=1$时的第二特征值，其中$C(n,k)$为$(n-k)$-循环的共轭类。本文证明了对于任意$n\geq 3$以及相对于$n$较小的$k\in \mathbb{N}$，$\Gamma_{n,k}$的第二特征值为由$\operatorname{Sym}(n)$对应于划分$[n-1,1]$的不可约特征标所提供的特征值。作为方法的副产品，我们重新得到了Siemons与Zalesski在$k \in \{0,1\}$时的结果。此外，我们证明了$\Gamma_{n,n-5}$的第二特征值也等于由划分$[n-1,1]$的不可约特征标所提供的特征值。