分裂亚循环群 Cayley 图的谱性质

设 $\Gamma(G,S)$ 表示群 $G$ 关于集合 $S \subset G$ 的 Cayley 图。本文分析了 Cayley 图 $\mathcal{T}_{m,n,k} = \Gamma(\mathbb{Z}_m \ltimes_k \mathbb{Z}_n, \{(\pm 1,0),(0,\pm 1)\})$ 的谱性质，其中 $m,n \geq 3$ 且 $k^m \equiv 1 \pmod{n}$。我们证明了 $\mathcal{T}_{m,n,k}$ 的邻接矩阵在重新标号的意义下是块循环矩阵，并给出了这些块的显式描述。通过将 Walker-Mieghem 的一个结果推广到 Hermitian 矩阵，我们证明了当 $m > 8$ 或 $n \geq 400$ 时，$\mathcal{T}_{m,n,k}$ 不是 Ramanujan 图。