对称群上关于对换的整Cayley图

我们研究对称群$S_n$在$\{1,\dots,n\}$上由若干对换$(i,j)$组成的子集$T$，使得Cayley图$\Gamma_T:=Cay(S_n,T)$为整图，即$\Gamma_T$的邻接矩阵的所有特征值均为整数。$\Gamma_T$的图性质由图$G_T$的性质所决定，其中$G_T$的顶点集为$\{1,\dots,n\}$，且$\{i,j\}$为边当且仅当$(i,j)\in T$。本文证明：若$G_T$为一棵树，则$\Gamma_T$为整图当且仅当$T$同构于星图$K_{1,n-1}$，回答了[Electron. J. Comnin., 29(2) (2022) # P2.9]中的问题5。后一文章的问题6要求找出在不对$T$作任何进一步假设下$Cay(S_n,T)$为整图的充要条件。我们证明：若$G_T$是一种我们称之为“广义完全多部图”的图，则$Cay(S_n,T)$为整图。我们猜想$Cay(S_n,T)$为整图仅当$G_T$为广义完全多部图。为支持该猜想，我们证明了当$G_T$为包含圈与三次图在内的若干类图时猜想成立。