有限交换环的二次酉 Cayley 图

本文旨在研究有限交换环上一族 Cayley 图的谱性质。设 $R$ 为这样一个环，$R^\times$ 为其单位元集合。令 $Q_R=\{u^2: u\in R^\times\}$ 且 $T_R=Q_R\cup(-Q_R)$。我们将 $R$ 的二次酉 Cayley 图（记为 $\mathcal{G}_R$）定义为关于 $T_R$ 的 $R$ 加法群上的 Cayley 图；即 $\mathcal{G}_R$ 的顶点集为 $R$，当且仅当 $x-y\in T_R$ 时，$x, y \in R$ 相邻。众所周知，任何有限交换环 $R$ 都可分解为 $R=R_1\times R_2\times\cdots\times R_s$，其中每个 $R_i$ 是具有极大理想 $M_i$ 的局部环。设 $R_0$ 是一个具有极大理想 $M_0$ 的局部环，且满足 $|R_0|/|M_0| \equiv 3\,(\mod\,4)$。我们在 $1 \le i \le s$ 时满足 $|R_i|/|M_i|\equiv 1\,(\mod\,4)$ 的条件下，确定了 $\mathcal{G}_R$ 和 $\mathcal{G}_{R_0\times R}$ 的谱。我们计算了此类二次酉 Cayley 图的能量和谱矩，并确定了此类图何时为超能图或 Ramanujan 图。