星图上的 PI-特征函数

我们考虑由对换 $(1~i)\,(2 \leqslant i \leqslant n)$ 的集合 $S$ 生成的对称群 $\mathrm{Sym}_n\,(n\geqslant 2)$，以及称为星图的 Cayley 图 $S_n=Cay(\mathrm{Sym}_n,S)$。对于任意满足 $n > 2m$ 的正整数 $n\geqslant 3$ 与 $m$，我们给出 $S_n$ 的一族特征值为 $n-m-1$ 的 $PI$-特征函数。我们建立了这些函数与 Specht 模标准基的联系。在最大的非主特征值 $n-2$ 的情形下，我们证明 $S_n$ 的任意特征函数均可由其在一个顶点二阶邻域上的取值重构。