无限树与非顺从群上的自举渗流
概率论
2008-04-26 v3 群论
摘要
任意图上的自举渗流有一个随机初始构型，其中每个顶点以概率 p 被占据，且彼此独立，并有一个带固定参数 k 的确定性传播规则：若一个空位在某时间步至少有 k 个被占据的邻居，则它在下一步变为被占据。该过程在 Z^d 上已被充分研究；此处我们研究它在正则与一般无限树以及非顺从 Cayley 图上的情形。临界概率是指使得该过程以正概率达到完全占据的 p 值的下确界。在一般树上，我们发现如下不连续性：若一棵树的枝化数严格小于 k，则临界概率为 1，而在 k 叉树上其为 1−1/k。一个相关结果是，在任何有根树 T 中，存在一种方式，删除根的 k 个子节点及其所有后代，并对所有剩余子节点重复此操作，依此类推，使得剩余树 T' 的枝化数满足 \br(T') ≤ max(\br(T)−k, 0)。我们还证明，在任何 2k-正则非顺从图上，k-规则的临界概率严格为正。
引用
@article{arxiv.math/0311125,
title = {Bootstrap percolation on infinite trees and non-amenable groups},
author = {Jozsef Balogh and Yuval Peres and Gabor Pete},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0311125},
year = {2008}
}
备注
17 pages, 2 figures. This is the final version, for the journal Combinatorics, Probability and Computing. Proposition 1.5 is new, proving the "intuitively clear statement" left open in the previous versions