随机几何图的统计力学：几何诱导的一级相变

随机几何图 (RGG) 可以形式化为隐变量模型，其中隐变量是节点的坐标。在此，我们开发了一种通用方法来提取通用隐变量模型的典型构型，并将所得方程应用于 RGG。对于任何通过刚性或软几何规则定义的 RGG，该方法都归结为一个非平凡的满足性问题：给定$N$个节点、一个域$\mathcal{D}$和一个期望的平均连通度$\langle k\rangle$，寻找（如果存在）在$\mathcal{D}$上具有支撑且平均连通度为$\langle k\rangle$的节点分布。我们发现，在热力学极限下，节点要么均匀分布，要么高度凝聚在一个小区域内，这两种机制由一级相变分隔，其特征是$\langle k\rangle$发生$\mathop{O}(N)$量级的跃变。$\langle k\rangle$的其他中间值对应于非常罕见的图实现。该相变是作为调节底层几何的参数$a\in[0,1]$的函数被观察到的。特别地，$a=1$表示刚性几何，其中只有邻近节点相连；而$a=0$表示刚性反几何，其中只有遥远节点相连。一致地，当$a=1/2$时不存在几何结构，也没有相变。在讨论数值分析之后，我们提供了一个组合论证来充分解释诱导此相变的机制，并将其识别为一种易 - 难 - 易转变。我们的结果表明，一般而言，除非依赖特定的异构构造（不一定是无标度的），否则很难设计出特制优化网络。