关于地理阈值图混合时间的研究

我们研究了由地理阈值图（GTG）模型在 $d$ 维环面单位立方体 $[0,1]^d$ 中生成的随机图的混合时间，该模型是随机几何图（RGG）的推广。在 GTG 中，节点分布在欧氏空间中，边的分配依据涉及节点间距离以及从某分布中抽取的随机节点权重的阈值函数。GTG 的连通性阈值与 RGG 的相当，本质上对应于连通半径 $r=(\log n/n)^{1/d}$。然而，在该阈值下两者的度分布截然不同：在 RGG 中度本质上是均匀的，而 GTG 的度是异构的且依赖于权重分布。本文中，我们研究了 $d \geq 2$ 时在连通性阈值附近的 $d$ 维 GTG 上随机游走的混合时间。如果权重分布函数以 $\mathbb{P}[W \geq x] = O(1/x^{d+\nu})$ 衰减，其中 $\nu>0$ 为任意小的常数，则 GTG 的混合时间为 $\mixbound$。这与已知的 $d$ 维 RGG 的混合界相吻合。