随机几何图邻接矩阵的谱分析

在本文中，我们分析随机几何图（RGGs）的极限特征值分布（LED）。RGG 通过将 $n$ 个节点均匀分布在 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^d \equiv [0, 1]^d$ 上，并在两节点的 $\ell_{p}$-距离（$p \in [1, \infty]$）至多为 $r_{n}$ 时连接它们而构造。特别地，我们研究 RGG 邻接矩阵在连通 regime 下的 LED，其中平均顶点度以 $\log\left( n\right)$ 或更快的速度缩放，即 $\Omega \left(\log(n) \right)$。在连通 regime 下并在半径 $r_{n}$ 的某些条件之下，我们证明了当 $n$ 趋于无穷时，RGG 邻接矩阵的 LED 收敛到节点位于网格上的确定性几何图（DGG）邻接矩阵的 LED。然后，对于有限的 $n$，我们利用 DGG 的结构来近似 RGG 邻接矩阵的特征值，并给出近似误差的上界。