基于 Edgeworth 展开法测试高维随机环面图的阈值与谱特性

我们研究边密度为 $p$ 的高维随机几何图 (RGG)，其顶点均匀分布在 $d$ 维环面上，边在满足 $L_q$ 范数下距离较近的顶点之间插入。我们聚焦于区分 RGG 与 Erd\H{o}s--R\'enyi (ER) 图，当两者的边概率均为 $p$。目前大多数结果要么考虑 $L_2$ 距离下的球面 RGG，要么考虑 $L_\infty$ 距离下的环面 RGG。然而对于一般 $L_q$ 距离，仍有许多问题未解，尤其是当 $p$ 允许依赖于 $n$ 时。其主要原因是 RGG 在 $L_q$ 距离下难以表示为其一维对应项的逻辑与运算，因为 $L_\infty$ 几何结构较易实现。为克服这一困难，我们构构了一种基于修改 Edgeworth 展开法的量化边之间依赖性的新技术。该技术给出了区分 $L_q$ 范数下环面 RGG 与 ER 图的首个紧致算法上界，当 $p$ 和 $q$ 固定时成立。我们通过表明在整个区间 $c/n < p < 1$ 下，当 $d \ll n^3p^3$ 时，符号三角形可区分这两个模型，从而实现此目标。此外，我们的技术还给出了该任务的改进信息论下界，表明当 $d = \tilde{\Omega}(n^3p^2)$ 时，两个分布收敛，这与 Liu 等人[STOC'22]中针对一般 $p$ 情况下球面 RGG 的当前最佳下界相当。最后，我们的展开方法允许我们紧致刻画 $L_q$ 距离下（固定 $1 \le q < \infty$）以及 $L_\infty$ 距离下环面 RGG 的谱特性。我们的结果部分解决了 Bangachev 和 Bresler[COLT'24]的猜想，证明距离度量而非底层空间是导致球面 RGG 与环面 RGG 行为差异的主要原因。