随机几何图中$L_\infty$几何的检测：三角形的次优性与簇展开

本文研究了采用$L_q$距离的随机几何图$\mathsf{RGG}(n,\mathbb{T}^d,\mathsf{Unif},\sigma^q_p,p)$，其中每个顶点从$d$维环面上均匀采样，连接半径的选取使得边际连边概率为$p$。除针对其他问题的结果外，我们在判定何时可区分$\mathsf{RGG}(n,\mathbb{T}^d,\mathsf{Unif},\sigma^q_p,p)$与Erdős-Rényi图$\mathsf{G}(n,p)$方面取得进展。我们最强的结果处于极端情形$q = \infty$，此时$\mathsf{RGG}(n,\mathbb{T}^d,\mathsf{Unif},\sigma^\infty_p,p)$是$d$个一维随机几何图的$\mathsf{AND}$。我们推导了类似于统计物理中簇展开的公式，刻画了来自$d$个一维副本的子图间的兼容性，并用以界定小子图的带符号期望。我们证明，计数带符号4-环在所有低度检验中是最优的，当且仅当$d = \tilde{o}(np)$时以高概率成功。相比之下，带符号三角形检验是次优的，仅在$d = \tilde{o}((np)^{3/4})$时成功。我们的结果与现有随机几何图文献（多聚焦于$L_2$几何）形成鲜明对比，其中带符号三角形统计量是最优的。