关于高维随机几何图的傅里叶系数

随机几何图 $\mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1}, p)$ 是通过在 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上均匀采样 $n$ 个独立同分布向量 $\{V_i\}_{i = 1}^n$，并在满足 $\langle V_i,V_j\rangle \ge \tau^p_d$ 的顶点对 $i$ 和 $j$ 之间连边而形成的，其中 $\tau^p_d$ 使得期望密度为 $p$。我们研究了分布 $\mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1}, p)$ 及其高斯类比物的低次傅里叶系数。我们的主要概念贡献是一种用于界定傅里叶系数的新颖两步策略，我们认为该策略更广泛地适用于研究潜在空间分布。首先，我们将边之间的依赖性局部化为少数脆弱边。其次，我们根据脆弱边集合对潜在向量配置空间 $(\mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1}, p))^{\otimes n}$ 进行划分，并在每个配置子集上定义一个噪声算子，该算子独立地作用于不与脆弱边关联（在适当意义上）的边。我们将所得界限应用于：1) 解决在观察完整边集以及最近由 [MVW24] 引入的非自适应选择掩码 $\mathcal{M}$ 模型两种情况下，区分球面和高斯随机几何图与 Erdos-Renyi 图的低次多项式复杂度问题；2) 展示在 $\mathsf{RGG}$ 可与 Erdos-Renyi 图区分的机制下，区分 $\mathsf{RGG}$ 与植入着色模型 [KVWX23] 的统计 - 计算间隙；3) 重新证明关于随机几何图第二特征值的已知界限。