热力学 regime 下随机几何图的特征值与谱维数
谱理论
2019-10-22 v1 离散数学
概率论
摘要
网络几何通常由具有有限谱维数（SD） 来刻画，该维数刻画了图上随机游走的返回时间分布。本工作的主要目的是确定在平均顶点度为常数、称为随机几何图（RGGs）的一类随机图在热力学 regime 下的 SD。谱维数依赖于 RGG 归一化拉普拉斯算子在最小特征值邻域内的特征值密度（ED）。事实上，该邻域内 ED 的行为刻画了随机游走。因此，我们首先给出了热力学 regime 下 RGG 正则化归一化拉普拉斯矩阵特征值的解析近似。然后，我们证明了最小非零特征值在图规模趋于无穷大时收敛到零。基于特征值的解析表达式，我们证明了最小值邻域内的特征值分布服从幂律尾部。利用这一结果，我们发现热力学 regime 下 RGG 的 SD 可由空间维数 近似。
引用
@article{arxiv.1910.08869,
title = {Eigenvalues and Spectral Dimension of Random Geometric Graphs in Thermodynamic Regime},
author = {Konstantin Avrachenkov and Laura Cottatellucci and Mounia Hamidouche},
journal= {arXiv preprint arXiv:1910.08869},
year = {2019}
}