Erdős-Rényi 图上相互作用扩散过程的大数定律与大偏差

我们考虑一类由微分方程（随机与确定性均有）描述的粒子系统，其中交互网络由参数为 $p_n\in (0, 1]$ 的 Erdős-Rényi 图实现确定，其中 $n$ 为图的大小（即粒子数）。若 $p_n\equiv 1$，则图为完全图（平均场模型），且众所周知，在适当假设下，经验测度当 $n\to \infty$ 时收敛到某 PDE 的解：随机情形为 McKean-Vlasov（或 Fokker-Planck）方程，确定性情形为 Vlasov 方程。已有结果表明，这对包含 $\lim_n p_n n =\infty$ 的 Erdős-Rényi 图在内的相当一般的交互网络也成立，且需适当重新缩放交互以补偿 $p_n$ 引入的稀释。然而，这些结果是在对初始数据很强的假设下证明的，即初始数据须为混沌的，亦即独立同分布随机变量序列。我们的贡献旨在仅假设初始条件的经验测度收敛，给出大数定律与大偏差原理的结果。