理解 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图中稀有事件的重要性采样技术

在稠密 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图中，我们关注给定子图大量出现的事件。子图计数的平均行为是已知的，而相关的大偏差结果直到最近才被发现。因此，自然的问题是：能否开发高效的数值方案来估计 Erd\H{o}s-R\'enyi 图包含过多固定给定子图的概率？利用大偏差原理，我们研究了一种重要性采样方案，作为数值计算 Erd\H{o}s-R\'enyi 图中出现大量三角形这一小概率事件的方法。我们表明，直接由大偏差原理建议的指数倾斜并不总能产生最优方案。重要性采样方案中使用的指数倾斜来自一类广义的指数随机图。通过在指数随机图中特殊选择参数，使其在大网络极限下与条件化为拥有许多三角形的 Erd\H{o}s-R\'enyi 图不可区分，从而实现了渐近最优性，这是衡量重要性采样方案效率的一种指标。我们展示了如何在复制对称相以及复制破缺相的部分区域为条件化 Erd\H{o}s-R\'enyi 图做出这种选择，从而产生用于估计该稀有事件概率的渐近最优数值方案。