关于具有有界稀疏性参数的图的$(n,m)$-色数

一个$(n,m)$-图的特征在于具有$n$类弧与$m$类边。从$(n,m)$-图$G$到$(n,m)$-图$H$的同态是保持邻接、方向与类型的顶点映射。$G$的$(n,m)$-色数记为$\chi_{n,m}(G)$，是使得存在$G$到$H$的同态的$|V(H)|$的最小值。$(n,m)$-图同态理论与调和着色、无处零流等图论概念，与二元谓词逻辑、Coxeter群等其他数学主题相关联，并在图数据库的查询求值问题（QEP）中有应用。本文中，我们表明$G$的树 Arboricity 由$\chi_{n,m}(G)$的函数界定但反之不成立。此外，我们表明$G$的无环色数由$\chi_{n,m}(G)$的函数界定，该反向结果已知。进一步，我们证明对于最大平均度小于$2+ \frac{2}{4(2n+m)-1}$的图族（包括围长至少$8(2n+m)$的平面图子族），其$(n,m)$-色数等于$2(2n+m)+1$。这改进了先前证明围长至少$10(2n+m)-4$的平面图$(n,m)$-色数为$2(2n+m)+1$的结果。我们确立部分$2$-树族$\mathcal{T}_2$的$(n,m)$-色数同时由$(2n+m)$的二次函数上下界定，且当下界在$(2n+m)=2$时紧。我们证明$14 \leq \chi_{(0,3)}(\mathcal{T}_2) \leq 15$与$14 \leq \chi_{(1,1)}(\mathcal{T}_2) \leq 21$，改进了已知下界及前者上界。此外，对于后者上界，据我们所知我们给出了首个理论证明。