关于广义切换的 (n,m)-图同态

对 $(n,m)$-图（即具有 $n$ 类弧与 $m$ 类边的图的保邻接顶点映射）的同态研究由 Nešetřil 与 Raspaud 于 2000 年开创。后来，有人尝试推广在符号图研究中广泛使用的切换（switch）操作，并研究其对上述同态的影响。在本文中，我们也给出了 $(n,m)$-图上切换操作的推广，据我们所知，该推广将此前所有已知推广作为特例囊括其中。我们以公理化方式研究关于切换操作的同态。我们证明了若干基础结果，它们是进一步研究该主题的必备工具。在证明基础结果的过程中，我们对 Klostermeyer 与 MacGillivray 于 2004 年提出的一个开放问题给出了又一解。我们还证明了对于某一类特定广义切换的 $(n,m)$-图存在范畴积（categorical product），其隐式使用了范畴论。这是一个反直觉的解，因为两个分别具有 $p$ 与 $q$ 个顶点的 $(n,m)$-图的范畴积的顶点数为 $pq$ 的某一倍数，该倍数依赖于切换。这作为推论解决了 Brewster 在 PEPS 2012 研讨会上提出的一个开放问题。我们还给出了显式计算该积的方法，并证明了该积的一般性质。我们定义了 $(n,m)$-图关于广义切换的色数类比，并探索了关于不同切换操作的色数之间的相互关系。我们利用群论概念求出了该色数在森林族上的取值。