带符号图与边染色图同态的复杂性

我们从计算角度研究带符号图的同态问题。带符号图 $(G,\Sigma)$ 是一种每条边被赋予正号或负号的图；$\Sigma\subseteq E(G)$ 表示负边集合。因此，$(G, \Sigma)$ 是一种 $2$-边染色图，其边色 $\{+, -\}$ 在乘法下构成一个群。带符号图研究的核心操作是顶点切换，该操作会改变每条关联边的符号。我们研究带符号图 $(G,\Sigma)$ 到带符号图 $(H,\Pi)$ 的两类同态：ec-同态与 s-同态。二者均是 $G$ 到 $H$ 的标准图同态，并带有额外约束。前者保持边符号；后者在对 $G$ 的一个顶点子集施加切换操作后保持边符号。我们针对一大类（固定的）目标带符号图 $(H,\Pi)$ 的 s-同态问题证明了一个二分定理。具体而言，只要 $(H,\Pi)$ 不包含负（或正）环，若其核心至多含两条边，则问题可在多项式时间内求解，否则为 NP 完全。（注意这涵盖了所有简单带符号图。）若 $(H,\Pi)$ 无负重边（negative digons），该二分性也成立，我们猜想其恒成立。在证明中，我们将 s-同态问题归约到某些 ec-同态问题，并对后者证明了二分定理。相反，我们证明 ec-同态问题的二分定理（即使限制于二部目标带符号图）将解决 Feder 和 Vardi 的二分猜想。