扩展双覆盖与符号图的同态界

一个\emph{符号图} $(G, \sigma)$ 是指一个图 $G$ 连同映射 $\sigma:E(G) \rightarrow \{+,-\}$。符号图同态的概念是一个相对新颖的发展，它加强了图的子式理论与着色理论之间的联系。循此思路，我们通过 Naserasr、Sopena 与 Zaslavsky 近期引入的符号图扩展双覆盖概念来研究这一联系。更确切地说，若任意满足关于 $(B,\pi)$ 的基本无同态引理条件的平面符号图 $(G,\sigma)$ 均存在到 $(B,\pi)$ 的同态，则称符号图 $(B,\pi)$ 是平面完全的。我们的猜想是：若 $(B,\pi)$ 是一个无正奇闭途径且平面连通的符号图，则其扩展双覆盖 ${\rm EDC}(B,\pi)$ 也是平面完全的。我们注意到该猜想大幅推广了四色定理，并与一系列推广此著名定理的猜想紧密关联。给定（符号）图 $(B,\pi)$ \emph{界定}一类（符号）图，是指该类中的每个（符号）图均存在到 $(B,\pi)$ 的同态。在本文中，为支持我们的猜想，我们证明了该猜想在符号 $K_4$-子式自由图子类上成立。受此进展启发，我们进而研究在围长受限条件下为符号 $K_4$-子式自由图子类寻找最优同态界的问题，并给出近乎最优的解。我们的工作还导致了加权符号图的发展。