关于 Negami 猜想的高代数面积延拓

Negami 著名的平面覆盖猜想等价于：连通图若能嵌入平面当且仅当其具有平面覆盖。1999 年，Hlin\v{e}n\'y 提出将此猜想扩展至更高代数面积的非定向表面。本文提出一种自然的延拓，涵盖定向表面；对于每一个紧致表面 $\Sigma$，连通图 $G$ 具有可嵌入 $\Sigma$ 的有限覆盖，当且仅当 $G$ 可嵌入由 $\Sigma$ 覆盖的表面。为证明此猜想，我们证明对于每一个表面 $\Sigma$，具有可嵌入 $\Sigma$ 的有限覆盖的连通图的欧拉代数有上界。此外，我们展示这些 Negami 猜想的延拓对欧拉代数足够大的每个紧致表面的可判定性，超越了对原猜想已知的结果。我们还证明了可嵌入紧致（定向）表面的可数图的自然类比。更确切地说，我们证明连通可数图 $G$ 具有可嵌入紧致（定向）表面的有限层数覆盖，当且仅当 $G$ 可嵌入紧致（定向）表面。我们最一般的定理即从中导出上述结果，表明存在常数 $c>0$，使得对于每一个表面 $\Sigma$，存在一个递减函数 $p_\Sigma:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$，满足 $\lim_{g\to \infty}p_\Sigma(g) =0$，使得任何欧拉代数 $g\ge c$ 的连通图的任何可嵌入 $\Sigma$ 的有限覆盖的层数至多为 $p_\Sigma(g)$。