图的团粘合的 DP 色函数

DP 染色（亦称对应染色）是列表染色的推广，自 Dvořák 与 Postle 于 2015 年引入后近年来被广泛研究。作为图 $G$ 的色多项式 $P(G,m)$ 的类似物，图 $G$ 的 DP 色函数记为 $P_{DP}(G,m)$，其计数在所有可能的 $m$-重覆盖上 DP 染色的最小数目。图的基本图操作——团粘合的色多项式公式已为人所知，但此类粘合对 DP 色函数的影响尚不清楚。本文研究图的 $K_p$-粘合的 DP 色函数。近期，Becker 等人询问是否当 $m \geq p$ 时有 $P_{DP}(G,m) \leq (\prod_{i=1}^n P_{DP}(G_i,m))/\left( \prod_{i=0}^{p-1} (m-i) \right)^{n-1}$，其中右侧表达式为 $G_1, \ldots, G_n$ 的 $K_p$-粘合 $G$ 的相应色多项式公式的 DP 染色类似物。Becker 等人证明了该不等式在 $p=1$ 时成立。本文中我们证明该不等式在边粘合（$p=2$）时成立。另一方面，我们证明其在三角形粘合（$p=3$）时不成立，这也回答了 Dong 与 Yang（2021）的一个问题。最后，我们证明了基于一类 $m$-重覆盖（我们推测其会对给定图给出最少的 DP 染色数）的该不等式的松弛版本在 $p \geq 3$ 时成立。